Penjumlahan dan Pekalian akar2 Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Penjumlahan dan Pekalian akar2 Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Amati Vidio Berikut dibawah ini

Keterangan

dari x_1,2 = { -b ± √(b² - 4ac) } / 2a dengan D = b² - 4ac maka x₁ = (-b + √D) / 2a dan x₂ = (-b - √D) / 2a

* D adalah Deskriminan

1. x₁ + x₂ = {(-b + √D) / 2a} + {(-b - √D) / 2a}

                    = (-b + √D - b - √D) / 2a

                    = -2b / 2a

                    = -b /a

Jadi, x₁ + x₂ = -b/a

2. x₁ - x₂ = {(-b + √D) / 2a} - {(-b - √D) / 2a}

                  = (-b + √D + b + √D) / 2a

                  = 2√D / 2a

                  = √D /a

Jadi, x₁ - x₂ = √D/a

3. x₁ . x₂ = {(-b + √D) / 2a} {(-b - √D) / 2a}

                  = (b² - D) / 4a²

                  = b² - (b² - 4ac) / 4a²

                  = (b² - b² + 4ac) / 4a²

                  = 4ac / 4a²

                  = c/a

Jadi, x₁ . x₂ = c/a

4. (x₁ + x₂)² = x₁² + 2(x₁ . x₂) + x₂²

     (x₁ + x₂)² - 2(x₁ . x₂) = x₁² + x₂²

Jadi, x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2(x₁ . x₂)

5. (x₁ + x₂)³ = x₁³+ 3x₁². x₂ + 3x₁ . x₂² + x₂³

       (x₁ + x₂)³ -  3x₁². x₂ + 3x₁ . x₂² = x₁³ + x₂³ 

              (x₁ + x₂)³ -  3x₁.x₂(x₁ + x₂)  = x₁³ + x₂³  

Jadi, x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ -  3x₁.x₂(x₁ + x₂)

contoh soal!

1. Persamaan kuadrat -2x² +4x-5=0 akar2nya α dan β

    Tentukan : a.  α + β                 d. α³ + β³

                        b. α . β                    e. 1/α + 1/β

                        c. α² + β²                f. 1/(α+2) + 1/(β+2)

   

Jawaban :

   a. α + β     = -b/a = 2

   b. α . β      = c/a   = 5/2

   c. α² + β² = (α + β)² - 2(α . β)

                    = 2² - 2.5/2

                    = 4 - 5

                    = -1

   d. α³ + β³ = (α + β)³ - 3α.β (α+β )

                    = 2³  - 3.5/2.2

                    = 8 - 15

                    = -7

   e. 1/α + 1/β = (α + β) / αβ

                        = 2 / (5/2)

                        = 4/5

   f. 1/(α+2) + 1/(β+2) = {(α+2) + (β+2)} / {(α+2) (β+2)}

                                      = {(α+β) + 4} / {α.β + 2(α+β) + 4}

                                      = (2+4) / (5/2 + 2.2 + 4)

                                      = 6 / (21/2)

                                      = 12/21 

                                      = 4/7

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru 

Ada 2 cara untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar2nya x₁ dan x₂ yaitu,

1. (x - x₁) (x - x₂) = 0

Contoh soal : Susunlah Persamaan kuadrat baru yang akar2nya adalah

a. 2 dan 7 => PKB = (x - 2) (x -7)

                                  = x² - 9x +14

b. -3 dan -4 => PKB = {x-(-3)} {x-(-4)}

                                    = (x+3) (x+4)

                                    = x² + 7x + 12

c. -7 dan 2 => PKB = {x-(-7)} (x-2)

                                   = (x+7) (x-2)

                                   = x² + 5x - 14

d. 5 dan -2 => PKB = (x-5) {x-(-2)}

                                   = (x-5) (x+2)

                                   = x² - 3x - 10

2. x² - (x₁ + x₂)x + x₁.x₂ = 0

Contoh soal : 

1. Susunlah Persamaan Kuadrat baru yang akar2nya adalah 2+√5 dan 2-√5!

    Jawaban :  x₁ + x₂ = (2+√5) +(2-√5) = 4 

                            x₁.x₂ = (2+√5) (2-√5)  = -1

    Jadi, PKB => x² - (x₁ + x₂)x + x₁.x₂ = 0

                       =>                    x² - 4x - 1 = 0

2. x₁ dan x₂ adalah akar2 persamaan kuadrat  x² - 2x + 5 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar2nya 3 lebihnya dari akar2 persamaan kuadrat yang diletahui.

Jawaban  : x₁ + x₂ = -b/a = 2 dan x₁.x₂ = c/a = 5

                     x₁ = (x₁ + 3) dan x₂ = (x₂ + 3)

maka, x₁ + x₂ = (x₁ + 3) + (x₂ + 3)                  dan             x₁.x₂ = (x₁ + 3) (x₂ + 3)     

                         = (x₁ + x₂) + 6                                                       = x₁.x₂ + 3(x₁+x₂) + 9

                         = 2 + 6                                                                   = 5 + 3.2 + 9

                         = 8                                                                          = 20

Jadi, PKB maka; x² - (x₁ + x₂)x + x₁.x₂ = 0

                                  x² - 8x + 20 = 0

                    * Deskriminan (D) => D = b² - 4ac *

untuk menentukan jenis akar2 persamaan kuadrat, rumusnya :

a. D = 0 maka; Mempunyai 2 akar yang sama

b. D < 0 makat; Tidak mempunyai akar nyata (akar2nya imajiner)

c. D ≥ 0 maka; Mempunyai 2 akar nyata

d .D > 0 maka; Mempunyai 2 akar nyata dan berlawanan

Contoh Soal :

1. Tentukan nilai k agar persamaan kuadrat kx² + 3x + k = 0 mempunyai 2 akar sama/kembar

    Jawaban : Syarat akar kembar D = 0, maka

                        b² - 4ac = 3² - 4.k.k

                                  0 = 9 - 4k²

                              4k² = 9

                                 k²  = (9/4)
                                  k = ±√(9/4)

                                  k = ± 3/2

2. Tentukan m agar persamaan kuadrat berikut x² - 2x + (m+1) = 0 Tidak mempunyai akar nyata.

     Jawaban : Syarat tidak mempunyai akar nyata D < 0, maka

                              
                       b² - 4ac < 0

                       2² - 4.1.(m+1) < 0

                               4 - 4m - 4 < 0

                                    0 - 4m < 0

                                       - 4m < 0

                                            m < 0

3. Tentukan P agar persamaan kuadrat x² + px + p = 0 mempunyai 2 akar real dan berbeda.

     Jawaban : Syarat akar real dan berbeda D > 0, maka

                               
     b² - 4ac > 0

     p² - 4.1.p > 0

     p² - 4p > 0

     p(p - 4) > 0 

    

Jadi, p > 0 dan p > 4 

MENENTUKAN FUNGSI KUADRAT

MENENTUKAN FUNGSI KUADRAT

Amati Vidio berikut dibawah ini

Keterangan

Menentukan Fungsi Kwadrat ada tiga cara sesuai soal yang diketahuinya :

CARA 1

1.  Dengan cara substitusi dan eliminasi dengan menggunakan rumus bentuk umum  fungsi kwadrat yaitu   

     y = ax² + bx + c

Jika soal diketahui melalui 3 titik koordinat diantaranya (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃), dari ketiga titik tersebut subtitusan ke Persamaan tersebut diatas

(x₁,y₁)     maka         y₁ = ax₁ + bx₁ + c …….…Pers.1

(x₂,y₂)       maka       y₂ =  ax₂ + bx₂ + c ………Pers.2

(x₃,y₃)        maka      y₃ = ax₃ + bx₃ + c …….…Pers.3

Selanjutnya, menentukan nilai a, b, c dengan menggunakan penyelesaian system persamaan linier dengan 3 variabel / peubah. Dengan cara Eleminasi, subtitusi, atau campuran ( eleminasi dan subtitusi ). Jika nilai a, b, c sudah diketahui subtitusikan ke Persamaan  y = ax² + bx + c

Contoh

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik A(1,0) , B(-1,-6) dan C (2,6) !

Jawab:

Bentuk umum fungsi kuadrat: y = ax² + bx + c

Nilai a,b dan c dapat dicari sebagai berikut:

y = ax² + bx + c 

A(1,0)    maka    y =  a(1)² + b(1) + c  

                               0 = a + b + c ............................(1)

B(-1,-6)   maka   y = a(-1)² + b(-1) + c 

                              -6 = a - b + c ............................(2)

C(2,6)    maka    y = a(2)² + b(2) + c

                               6 = 4a + 2b + c ...................... (3)

Eliminasi dari persamaan (1) dan (2):

          a+b+c     =  0

          a -b+c     = -6 –        

             2b        = 6

               b     = 3 …………….. (4)

Eliminasi dari persamaan (3) dan (1):

4a+2b+c = 6

a + b + c = 0  –

3a + b     = 6 ………………(5)

Nilai b dari Persamaan (4) Subtitusi ke persamaan (5)

3a + b = 6

3a + 3 = 6

3a       = 6 – 3

3a  = 3

  a= 1 

Nilai a = 1, dan b = 3 disubstitusikan ke persamaan (1)

a + b + c = 0

1 + 3 + c = 0

4 + c = 0

c = –4

Jadi nilai a = 1, b = 3, dan nilai c = -4 disubstitusikan fungsi kuadrat yang dimaksud adalah
y = ax²  + bx + c             
y = x²  + 3x – 4



CARA 2 : MENGGUNAKAN RUMUS Sbb.

 y = a(x – p)(x – q)

Jika soal fungsi kwadrat diketahui grafiknya memotong sumbu x di titik (p,0), (q,0) dan melalui satu titik  (x,y)

Dari ketiga titik tersebut disubstitusikan ke Pessamaan y = a(x – p)(x – q), maka nilai a akan diketahui. Selanjutnya nilai a, p, q disubstitusikan ke Persamaan y = a(x – p)(x – q) dan peubah / variable x dan y tidak perlu diganti supaya membentuk fungsi kwadrat. 

Contoh

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (-1,0) dan (5,0).serta melalui (4,-5)

Diketahui : p = -1; q = 5; x = 4; y = -5

Ditanya   : Fungsi Kwadrat ?

Jawab : 

Langkah I : mencari nilai a dengan cara substitusikan semua yang diketahui tersebut diatas pada rumus

    y = a(x – p) (x – q)
    -5 = a(4 – (-1))(4 – 5)
    -5 = a(4 + 1) (–1) 

    -5 = a(5)(-1)

    -5 = -5a

     1 = a
   

Langkah 2  : substitusikan nilai a, p, dan q sedangkan x dan y tidak perlu diganti  pada rumus

    y = a(x – p) (x – q)

    y = 1(x - (-1)) (x – 5)

    y = 1(x + 1) (x – 5)
    y = x(x – 5) + 1(x – 5)
    y =   x² – 5x + 1x – 5

    y =   x² – 4x  – 5
   Jadi, fungsi kuadratnya : y = x² – 4x – 5
                                            

CARA 3 : Menggunakan Rumus Sbb.

y = a(x – p)² + q

Jika soal fungsi kwadrat tsb. diketahui  Melalui titik puncak / ekstrim (p,q), dan melalui satu titik  (x,y) .

Dari kedua titik tersebut disubstitusikan ke Pessamaan y = a(x – p)² + q, maka nilai a akan diketahui. Selanjutnya nilai a, p, q disubstitusikan ke Persamaan y = a(x – p)² + q, dan peubah / variable x dan y tidak perlu diganti supaya membentuk fungsi kwadrat.

Contoh 

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (2,-9) serta melalui titik (-1,0)

Diketahui : p = 2; q = -9; x = -1; y = 0

Ditanya   : Fungsi Kwadrat ?

Jawaban :

Langkah I : mencari nilai a dengan cara substitusikan semua yang diketahui tersebut diatas pada rumus 
    y = a(x – p)² + q
    0  = a(-1 – 2)² – 9

    0  = a(-3)² – 9

    0  = 9a  – 9

    0  = 9a  – 9

    9  = 9a 

    1  = a
  

Langkah 2  : substitusikan nilai a, p, dan q sedangkan x dan y tidak perlu diganti  pada rumus

=> y = a(x – p)² + q

=> y = 1(x – 2)² – 9

=> y = (x – 2)(x – 2) – 9

=> y = (x² – 4x + 4) – 9

=> y = x² – 4x  – 5

GRAFIK FUNGSI KUADRAT

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI KUADRAT

Amati Vidio Berikut dibawah ini

Keterangan

Grafik Fungsi Kwadrat

Fungsi dilambangkan / ditulis / disimbulkan dengan f(x), g(x), h(x), atau y

Bentuk Umum Kwadrat adalah  ax² + bx + c

Penulisan fungsi kwadrat adalah  f(x) =  ax² + bx + c  atau

                                                           y =  ax² + bx + c  

Menggambar Grafik Fungsi Kwadrat ada beberapa langkah

Langkah 1 : Mencari Sumbu Simetri / x_sm =  –b : 2a 

Langkah 2 :  Jika sudah ketemu sumbu simetri maka ambil dua angka – dua angka ke kiri dan kekanannya sumbu simetri  tsb

x			xsm
ax2
bx
c
y			yop
(x,y)			(xsm, yop)

Langkah 3 : Dari 5 titik koodinat yang ada pada tabil di gambar pada diagram kartesius

Catatan : Nilai Optimum atau f(x) atau y_op = (b² – 4ac) ; – 4a

Contoh :

y = -2x² + 4x + 5, gambar grafik dari fungsi kwatrat tersebut

Jawab :

Langkah 1 : a = -2, b = 4, c = 5, maka sumbu simetri / x_sm =  –(4) : 2(-2)

                                                                                        x_sm =  –4 : (-4) 

                                                                                        x_sm =  1

x	-1	0	1	2	3
-2x2	-2	0	-2	-8	-18
4x	-4	0	4	8	12
5	5	5	5	5	5
y	-1	5	7	5	-1
(x,y)	(-1,-1)	(0,5)	(1, 7)	(2,5)	(3,-1)

Jadi Grafik dari y = -2x² + 4x + 5 adalah